Question

已知{a_n}是等比数列，如果该数列中有连续三项的积为1，那么该三项的和的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1]∪[3，+∞）
B．[3，+∞）
C．（-∞，-3]∪[3，+∞）
D．（-∞，-1]

Answer

设出此等比数列的连续三项，根据等比数列的性质变形后即可求出中间项的值为1，然后设出公比为q，根据等比数列的性质表示出前一项与后一项，三项相加，分q大于0和q小于0两种情况，分别利用基本不等式即可求出三项和的范围，求出两范围的并集即可得到所求．
【解析】
设连续三项中间的项为an，则前一项为an-1，后一项为an+1，
∵{an}是等比数列，根据题意有an-1•an•an+1=（an）3=1，
∴an=1，设公比为q，an-1=，an+1=q，
当q＞0时，an-1+an+an+1=+1+q≥3，当且仅当q=1时取等号，
此时该三项的和的取值范围是[3，+∞）；
当q＜0，即-q＞0时，an-1+an+an+1=+1+q=1-[（-）+（-q）]≤1-2=-1，当且仅当q=-1时取等号，
此时该三项的和的取值范围是（-∞，-1]，
综上，该三项的和的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
故选A