Question

设函数y=f（x）不恒等于零，对于任意x，y有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，则f （x） 为R上的    （填增，减）函数．

Answer

先令x=y=0求出f（0）的值，然后令y=-x，可得函数的奇偶性，设x1＞x2，则x1-x2＞0，然后判定f（x1）-f（x2）的符号，即可得到函数的单调性．
【解析】
当x=y=0时，则有f（0）=f（0）+f（0）=2（0），
所以f（0）=0，
令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x）=0，
则有f（-x）=-f（x），
设x1＞x2，则x1-x2＞0
f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）＜0
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
∴f （x） 为R上的减函数
故答案为：减