Question

设抛物线y=x²过一定点A （-a，a²）（），P（x，y）是抛物线上的动点．
（I）将表示为关于x的函数f（x），并求当x为何值时，f（x）有极小值；
（II）设（I）中使f（x）取极小值的正数x为x，求证：抛物线在点P（x，y）处的切线与直线AP垂直．

Answer

（I）先写出向量的坐标，再利用向量数量积运算性质求出函数f（x）的解析式，最后利用导数求函数的单调区间，得到函数的极值点即可
（II）先利用斜率公式，计算直线AP的斜率（用a表示），再利用导数的几何意义计算抛物线在点P（x，y）处的切线斜率，最后将两个斜率相乘结果为-1即得证
【解析】
（I）．
∴f'（x）=4x3+2（1-2a2）x+2a．令f'（x）=0得2x3+（1-2a2）x+a=0，即（x+a）（2x2-2ax+1）=0．
∵a＞，
∴此方程有三个根x1=-a，x2=，
①当x＜-a时，f'（x）＜0；
②当-a＜x＜时，f'（x）＞0；
③当时，f'（x）＜0；
④当x＞时，f'（x）＞0．
∴当x=-a或x=时，f（x）有极小值
（II）由（I）知，x=，
则直线AP的斜率k1=，
又抛物线y=x2在点P（x，y）处的切线的斜率k2=2x=a+，∴k1k2==-1，
∴抛物线在点P（x，y）处的切线与直线AP垂直．