Question

函数f（x）=4^x-2^x+1+3的定义域为x．
（Ⅰ）设t=2^x，求t的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．

Answer

（Ⅰ）由题意，可先判断函数t=2x，x单调性，再由单调性求出函数值的取值范围，易得；
（II）由于函数f（x）=4x-2x+1+3是一个复合函数，可由t=2x，将此复合函数转化为二次函数g（t）=t2-2t+3，此时定义域为t∈[，]，求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数f（x）的值域．
【解析】
（Ⅰ）∵t=2x在x上单调递增
∴t∈[，]…（4分）
（Ⅱ） 函数可化为：f（x）=g（t）=t2-2t+3 
∵g（t）在[，1]上单减，在[1，]上单增…（6分）
比较得g（）＜g（），
∴f（x）min=g（1）=2，f（x）max=g（）=5-2…（11分）
∴函数的值域为[2，5-2]…（12分）