Question

椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，离心率e=，且椭圆过点（2，0）．
（1）求椭圆方程；
（2）求圆x²+（y-2）²=上的点到椭圆C上点的距离的最大值与最小值．

Answer

（1）由题意可得：a=2，因为离心率e==，所以，进而得到椭圆的方程．
（2）根据题意可得：椭圆的参数方程为，（θ∈R），可得椭圆上的一点与圆心的距离d=，结合二次函数的有关性质求出d的范围，进而根据圆的性质得到答案．
【解析】
（1）因为椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆过点（2，0），
所以a=2，
又因为离心率e==，
所以，
所以b=1．
则椭圆的标准方程为．
（2）因为椭圆 的方程为，
所以椭圆的参数方程为，（θ∈R），
设点P为椭圆上的一点，所以可得P（2sinθ，cosθ），
所以点P到圆x2+（y-2）2=的圆心的距离d=，
因为cosθ∈[-1，1]，所以根据二次函数的性质可得：d∈[1，]，
所以根据圆的性质可得：圆上的点到椭圆C上点的距离的最小值为d-r=1-=；圆上的点到椭圆C上点的距离的最大值为d+r=．