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定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数m,n,总有f(m+n)=f(m)•f(...

定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数m,n,总有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.
(1)试求f(0)的值;
(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论;
(3)若不等式f[(t-2)(|x-4|-|x+4|)]>f(t2-4t+13)对t∈[4,6]恒成立,求实数x的取值范围.
(1)令m=1,n=0,可求出f(0),(2)根据单调性的定义证明函数的单调性,(3)根据(2)的结论,去掉对应法则f,把f[(t-2)(|x-4|-|x+4|)]>f(t2-4t+13)转化不等式为(t-2)(|x-4|-|x+4|)<t2-4t+13,达到求解目的. 【解析】 (1)令m=1,n=0,则f(1)=f(1)f(0),又0<f(1)<1,故f(0)=1 (2)当x<0时,-x>0,则 即对任意x∈R都有f(x)>0 对于任意x1>x2, 即f(x)在R上为减函数. (3)∵y=f(x)为R上的减函数 ∴f[(t-2)(|x-4|-|x+4|)]>f(t2-4t+13) ⇔(t-2)(|x-4|-|x+4|)<t2-4t+13⇔ 由题意知, 而 ∴须|x-4|-|x+4|<6,解不等式得x>-3 所以原不等式的解集为:{x:x>-3}.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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