Question

已知函数f（x）=ax²+2x，g（x）=lnx．
（1）求函数y=xg（x）-2x的单调增区间．
（2）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；
（3）是否存在实数a＞0，使得方程=f′（x）-（2a+1）在区间（，e）内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先求函数y=xg（x）-2x的导数，再让导数大于0，解出x的范围即为函数的单调增区间．
（2）如果函数y=f（x）是二次函数，在[1，+∞）上是单调增函数，则函数图象开口向上，且[1，+∞）在对称轴右侧，再看A在哪个范围内符合条件即可．
（3）先假设存在实数a＞0，使得方程=f′（x）-（2a+1）在区间（，e）内有且只有两个不相等的实数根．
根据假设，转化为函数在区间（，e）内有且只有两个零点，再利用导数判断即可．
【解析】
（1）∵y′=lnx-1
令y′＞0，则x＞e
∴函数y=xg（x）-2x的单调增区间为（e，+∞）
（2）当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是增函数，
当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为x=-
由于y=f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴-≤1，解得a≤-2或a＞0，∴a＞0
当a＜0时，不符合题意，
综上，a的取值范围为a≥0
（3）方程=f′（x）-（2a+1）可化简为=ax+2-（2a+1）
即为方程ax2+（1-2a）x-lnx=0．
设H（x）=ax2+（1-2a）x-lnx，（x＞0）
原方程在区间（，e）内有且只有两个不相等的实数根，即函数H（x）在区间（，e）内有且只有两个零点．
H′（x）=2ax+（1-2a）-
==
令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或x=-（舍）
当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；
当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，，H（x）是增函数．，
H（x）在（，e）内有且只有两个不相等的零点，只需
 即1＜a＜