Question

已知数列{a_n}的前n项和，且a_n是b_n与1的等差中项．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）若，求c₂+c₃+c₄+…+c_n；
（3）若，是否存在n∈N*使得f（n+11）=2f（n），并说明理由．

Answer

（1）当n大于等于2时，由an=Sn-Sn-1得出通项公式，然后把n=1代入通项公式进行验证，即可得到数列{an}的通项公式，再由an是bn与1的等差中项，根据等差数列的性质得到2an=bn+1，由数列{an}的通项公式即可求出数列{bn}的通项公式；
（2）把（1）得出的数列{an}的通项公式，代入，利用拆项的方法变形，然后列举出c2+c3+c4+…+cn的各项，抵消合并可求出值；
（3）不存在，理由为：分n为奇数和偶数两种情况考虑：当n为奇数时，n+11为偶数，分别代入相应的解析式中求出f（n）和f（n+11），发现方程f（n+11）=2f（n）无解；当n为偶数时，n+11为奇数，分别代入相应的解析式中求出f（n）和f（n+11），发现方程f（n+11）=2f（n）也无解，故不存在n使f（n+11）=2f（n）．
【解析】
（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n（n-1）-（n-1）（n-2）=n-1，
把n=1代入验证，满足通项公式，
则an=n-1，又an是bn与1的等差中项，
则bn=2an-1=2（n-1）-1=2n-3；
（2）因为an=n-1，
所以，
则c2+c3+c4+…+cn=1-+-+-…+-=1-；
（3）不存在，理由为：
当n是奇数时，n+11为偶数，
此时f（n）=an=n-1，f（n+11）=bn+11=2n+19，
由f（n+11）=2f（n）知无解；
当n是偶数时，n+11为奇数，
此时f（n）=bn=2n-3，f（n+11）=an+11=n+10，
由f（n+11）=2f（n）知无解，
所以满足题意的n不存在．