Question

求证：2ln（1+x）≤x²+2x．

Answer

由题意，证明2ln（1+x）≤x2+2x恒成立，可以构造函数f（x）=x2+2x-2ln（1+x），将证明不等式恒成立问题转化为函数f（x）≥0恒成立的问题，可利用导数求出函数的单调区间，确定出函数f（x）=x2+2x-2ln（1+x）的最小值，若最小值大于等于0，则可得2ln（1+x）≤x2+2x成立
证：由题意，设函数f（x）=x2+2x-2ln（1+x），函数f（x）的定义域为（-1，+∞）
又f′（x）=2x+2-==
令f′（x）＞0解得x＞0或x＜-2
令f′（x）＜0解得-2＜x＜0
又函数f（x）=x2+2x-2ln（1+x）的定义域是（-1，+∞），
所以函数f（x）区间（-1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数
f（x）≥f（0）=0，
即有2ln（1+x）≤x2+2x