Question

已知A（2，3），B（5，4），C（7，8）
（1）若，试求当λ为何值时，点P在第三象限内．
（2）求∠A的余弦值．
（3）过B作BD⊥AC交于点D，求点D的坐标．
（4）求S_△ABC．

Answer

（1）设P（x，y），，，，由点P在第三象限内，能求出λ＜-1．
（2），由此能求出cosA．
（3）利用A（2，3），C（7，8）求出直线AC的表达式，为y=x+1．也由此知AC的斜率为1，又因为BD⊥AC，所以知直线BD的斜率为k=-1，又因为直线BD过点B（5，4），所以可求得直线BD的表达式是y=-x+9．由此能求出两直线的交点坐标．．
（2）根据两点间的距离公式d=，得到AC=，BD=，由BD⊥AC，能求出S△ABC．
【解析】
（1）设P（x，y），，
∵，
∴，即，
∵点P在第三象限内，
∴，解得：λ＜-1．
（2）∵，
∴cosA=．
（3）利用A（2，3），C（7，8）求出直线AC的表达式，
可用直线表达式y=kx+b，A、C两点代进去求出．
得k=1，b=1，
直线AC的表达式为y=x+1．
也由此知AC的斜率为1，
又因为BD⊥AC，
所以知直线BD的斜率为k=-1，
又因为直线BD过点B（5，4），
所以可求得直线BD的表达式是y=-x+9
解方程组，得x=4，y=5′．
∴两直线的交点坐标为D（4，5）．
（2）根据两点间的距离公式d=，
得到AC=，
BD=，
由（1）知BD⊥AC，
所以S△ABC=AC×BD==5．