Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直线梯形，∠ADC为直角，AD∥BC，AB⊥AC，AC=AB=2，G是△PAC的重心，E为PB中点，F在线段BC上，且CF=2FB．
（1）证明：FG∥平面PAB；
（2）证明：FG⊥AC；
（3）求二面角P-CD-A的一个三角函数值，使得FG⊥平面AEC

Answer

（I）欲证FG∥平面PAB，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证FG与平面PAB内一直线平行，连接CG延长交PA于M，连BM，根据比例可得FG∥BM，BM⊂平面PAB，FG⊄平面PAB，满足定理条件；
（II）欲证FG⊥AC，而FG∥BM，可先证AC⊥BM，欲证AC⊥BM，可证AC⊥平面PAB，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC与平面PAB内两相交直线垂直，而PA⊥AC，又AB⊥AC，PA∩AB=A，满足定理条件；
（III）连EM，根据二面角平面角的定义可知∠PDA二面角P-CD-A的平面角，在三角形PDA中求出此角的正切值即可．
证明（I）连接CG延长交PA于M，连BM，
∵G为△PAC的重心，∴又∵，∴FG∥BM．
又∵BM⊂平面PAB，
∴FG⊄平面PAB，
∴FG∥平面PAB（4分）
（II）∵PA⊥平面ABCD，PA⊥AC，又AB⊥AC，PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB，∴AC⊥BM．
由（I）知FG∥BM，∴FG⊥AC（7分）
（III）连EM，由（II）知FG⊥AC，∴FG⊥平面AEC的充要条件是：
FG⊥AE，即BM⊥AE，又EM=，
设EA∩BM=H，则EH=，
设PA=h，则，
∵Rt△AME～Rt△MHE，
∴EM2=EH•EA．
∴，
∴
∵PA⊥平面ABCD，∴AD⊥CD，
∴PD⊥CD，
∴∠PDA为二面角P-CD-A的平面角，此时，
∴当二面角P-CD-A的正切值为2时，PG⊥平面AEC（14分）