Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0（n∈N^*）且a₃+2是a₂、a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）若，求证：{b_n}的前n项和S_n≤-2．

Answer

（1）根据数列是一个各项均为正数的数列{an}满足an+12-an+1an-2an2=0，把这个式子分解，变为两个因式乘积的形式，（an+1+an）（an+1-2an）=0，注意数列是一个正项数列，得到an+1-2an=0，得到数列是一个等比数列，写出通项．
（2）本题构造了一个新数列，要求新数列的和，注意观察数列是有一个等差数列和一个等比数列乘积组成，需要用错位相减来求和，求出Sn即可比较与-2的大小关系．
【解析】
（1）∵an+12-an+1an-2an2=0，∴（an+1+an）（an+1-2an）=0，
∵数列{an}的各项均为正数，
∴an+1+an＞0，
∴an+1-2an=0，
即an+1=2an，所以数列{an}是以2为公比的等比数列．
∵a3+2是a2，a4的等差中项，
∴a2+a4=2a3+4，
∴2a1+8a1=8a1+4，
∴a1=2，
∴数列{an}的通项公式an=2n．
（2）由（1）及bn=得，bn=-n•2n，
∵Sn=b1+b2++bn，
∴Sn=-2-2•22-3•23-4•24--n•2n①
∴2Sn=-22-2•23-3•24-4•25--（n-1）•2n-n•2n+1②
①-②得，Sn=2+22+23+24+25++2n-n•2n+1
=≤-2
∴{bn}的前n项和Sn≤-2．