Question

已知a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
（1）证明：数列{lg（1+a_n）}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）由点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，则an+1=an2+2an，
即an+1+1=an2+2an+1=（an+1）2＞0，即（常数），从而得证．
（2）由（1）得知{lg（1+an）}是公比为2且首项为lg（1+a1）=lg3的等比数列，
即可得化简得数列{an}的通项公式．
【解析】
（1）∵点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，∴an+1=an2+2an，
∴an+1+1=an2+2an+1=（an+1）2＞0，∴lg（an+1+1）=lg（an+1）2=2lg（an+1）
即：，∴{lg（1+an）}是公比为2的等比数列．
（2）由（1）知{lg（1+an）}是公比为2且首项为lg（1+a1）=lg3的等比数列，
∴，则