Question

设三棱锥s-ABC的顶点P在底面的射影S′（在△ABC内部）到三个侧面的距离相等，则S′是△ABC的（ ）
A．外心
B．垂心
C．内心
D．重心

Answer

S'在三个侧面上的射影分别为E，F，G；连接SE，SF，SG，延长线交底面于，P，Q，R，依题意可知S'E=S'F=S'G，进而推断出SE=SF=SG，S'P=S'Q=S'R，EQ=FP=GR 证出相等；在根据AB⊥S'S   AB⊥S'F推断出AB⊥△SPS'进而可知AB⊥S'P，同理可证出BC⊥S'Q     AC⊥S'R，进而证出垂直，最后可推断出S’是底面三角形的内心．
【解析】
如图，S'在三个侧面上的射影分别为E，F，G；连接SE，SF，SG，延长线交底面于，P，Q，R，
∵S'到三个侧面距离相等
∴S'E=S'F=S'G
∴SE=SF=SG
S'P=S'Q=S'R    EQ=FP=GR （先证出相等）
∵AB⊥S'S   AB⊥S'F
∴AB⊥△SPS'
∴AB⊥S'P
同理证得BC⊥S'Q     AC⊥S'R  （又证出垂直）
所以S’是底面三角形的内心
故选C．