Question

已知函数．
（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并证明；
（2）求f（x）在区间[1，3]上的最大值和最小值．

Answer

（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数，然后设x1、x2是区间（0，+∞）上任意两个实数，且x1＜x2，最后判定f（x1）-f（x2）的符号，得到结论；
（2）利用函数在区间[1，3]上的单调性可求出函数最大值和最小值．
【解析】
（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．（2分）
证明如下：
设x1、x2是区间（0，+∞）上任意两个实数，且x1＜x2，则（1分）f（x1）-f（x2）==（3分）
∵x2＞x1＞0
∴x1+x2＞0、x2-x1＞0、（x1x2）2＞0（1分）
∴f（x1）-f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．（1分）
（2）由（1）知函数f（x）在区间[1，3]上是减函数，（1分）
所以当x=1时，取最大值，最大值为f（1）=2
当x=3时，取最小值，最小值为（3分）