Question

如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD，SD=AD，
（1）求证：平面SDB⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-SB-D的大小．

Answer

（1）由已知中，SD⊥AD，SD⊥AB，由线面平行的判定定理可得SD⊥平面ABCD，再由面面平行的判定定理可得平面SDB⊥平面ABCD；
（2）由已知及（1）中结论，我们可以建立空间直角坐标系D-xyz，分别求出平面ASB，及平面SBD的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角A-SB-D的大小．
【解析】
（1）∵SD⊥AD，SD⊥AB，AD∩AB=A
∴SD⊥平面ABCD，
又∵SD⊆平面SBD，
∴平面SDB⊥平面ABCD．  …（5分）
（2）由题可知DS、DA、DC两两互相垂直．
如图建立空间直角坐标系D-xyz
设AD=a，则S（a，0，0），A（0，a，0），B（0，a，2a），C（0，0，2a），…（6分）
∵=（a，0，0），=（0，a，2a），…（7分）
设面SBD的一个法向量为=（x，y，-1）
则，即
解得 =（0，2，-1）…（8分）
又∵=（0，0，2a），=（-a，a，0），
设面SAB的一个法向量为=（1，y，z），
则，即
解出 =（1，，0），…（10分）
cos＜，＞==
故所求的二面角为arccos  …（12分）