Question

数列{a_n}中，a₃=1，a₁+a₂+…+a_n=a_n+1（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求a₁，a₂；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设b_n=log₂S_n，存在数列{c_n}使得c_n•b_n+3•b_n+4=1+n（n+1）（n+2）S_n，试求数列{c_n}的前n项和．

Answer

（Ⅰ）由题意可得，a1=a2，a1+a2=a3
（Ⅱ）由Sn=an+1=Sn+1-Sn，可得2Sn=Sn+1，=2，从而可得{Sn}为等比数列，进而可求
（Ⅲ）由（II）可得，Sn=（2n-1）=2n-2，bn=n-2，从而可求cn=+n2n-2，令A=++…+，利用分组求和，令B=1•2-1+2•2+3•21+4•22+…+n2n-2，利用错位相减可求，从而可求
【解析】
（Ⅰ）∵a1=a2，a1+a2=a3，∴2a1=a3=1，∴a1=，a2=．…（4分）
（Ⅱ）∵Sn=an+1=Sn+1-Sn，∴2Sn=Sn+1，=2，…（6分）
∴{Sn}是首项为，公比为2的等比数列．
∴Sn=2n-1=2n-2．…（8分）
（Ⅲ）Sn=（2n-1）=2n-2，bn=n-2，bn+3=n+1，bn+4=n+2，
∵cn•bn+3•bn+4=1+n（n+1）（n+2）Sn，∴cn•（n+1）（n+2）=1+n（n+1）（n+2）2n-2，
即cn=+n2n-2．…（10分）
令A=++…+=-++…+
=-．…（12分）
令B=1•2-1+2•2+3•21+4•22+…+n2n-2，①
2B=1•2+2•21+3•22+…+（n-1）2n-2+n2n-1，②
②-①得
B=n2n-1-2-1-2-21-…-2n-2=n2n-1-=（n-1）2n-1+，
∴c1+c2+…+cn=-+（n-1）2n-1+=（n-1）2n-1+．…（14分）