Question

已知函数f（x）=bx，g（x）=ax²+1，h（x）=ln（1+x²）．（a，b∈R）
（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范围；
（2）设F（x）=f（x）+h（x），且b≤0，试讨论函数F（x）的单调性．

Answer

（1）原不等式f（x）+g（x）≥0即ax2+bx+1≥0，由-1∈M，2∈M得画出不等式组所确定的可行域，利用线性规划的方法即可求得z的取值范围；
（2）对F（x）求导数得，下面对字母b进行分类讨论：当b=0时，F（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；当b＜0时，F（x）在（-∞，+∞）上单调递减；当-1＜b＜0时，讨论函数F（x）的单调性即可．
【解析】
（1）【解析】
不等式f（x）+g（x）≥0即ax2+bx+1≥0
由-1∈M，2∈M得----------------（2分）
画出不等式组所确定的可行域如右图示：作平行线族b=3a-z
可见当a=-0.5，b=0.5时z有最小值，，zmin=-2--------------------（5分）
∴z的取值范围为z≥-2．----------------------------------------（6分）
（2）∵F（x）=bx+ln（1+x2）
∴----------------（8分）
当b=0时，
∴F（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；-----------------（9分）
当b＜0时，由bx2+2x+b=0的判别式△=4-4b2=0，得b=-1∴F′（x）≤0
当b≤-1时，对x∈R恒成立
∴F（x）在（-∞，+∞）上单调递减；-----------------------（10分）
当-1＜b＜0时，由F′（x）＞0得：bx2+2x+b＞0
解得：
由F′（x）＜0可得：或-----------------------（12分）
∴当-1＜b＜0时F（x）在上单调递增，
在和上单调递减．-------------------（14分）