Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，且∠BAC=90°，且AB=AA₁，D，E，F分别为B₁A，C₁C，BC的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角A-EB₁-F的大小．

Answer

（I）设AB的中点为G，连接DG，CG，根据三角形中位线性质，结合已知中E是C1C的中点，可得CEDG是平行四边形，进而DE∥GC，则线面平行的判定定理可得，DE∥平面ABC；
（Ⅱ）由已知中ABC为等腰直角三角形，且∠BAC=90°，F是BC的中点，根据等腰三角形“三线合一”可得AF⊥BC，由直三棱柱性质可得，平面ABC⊥平面BCC1B1，结合面面垂直的性质可得AF⊥B1F，又由勾股定理，可得B1F⊥EF结合线面垂直的判定定理，即可得到B1F⊥平面AEF；
（Ⅲ）分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，设AB=AA1=2，则可求出各顶点坐标，进而求出平面AEB1与平面EB1F的法向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．
证明：（Ⅰ）设AB的中点为G，连接DG，CG
∵D是A1B的中点
∴DG∥A1A且DG=
∵E是C1C的中点
∴CE∥A1A且CE=
∴CE∥DG且CE=DG
∴CEDG是平行四边形
∴DE∥GC
∵DE⊄平面ABC，GC⊂平面ABC
∴DE∥平面ABC（4分）
（Ⅱ）∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且F是BC的中点
∴AF⊥BC
∵平面ABC⊥平面BCC1B1
∴AF⊥平面BCC1B1
∴AF⊥B1F（6分）
设AB=AA1=2
则在B1FE中，，
则，B1E=3
∴B1E2=B1F2+EF2=9
∴△B1FE是直角三角形，
∴B1F⊥EF（8分）
∵AF∩EF=F
∴B1F⊥平面AEF（9分）
【解析】
（Ⅲ）分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，
设AB=AA1=2，则设A（0，0，0），B1（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0），D（1，0，1）
∵AF⊥平面BCC1B1
∴面B1FE的法向量为=（1，1，0），（10分）
设平面AB1E的法向量为
∵，
∴，
∴2y+z=0，，x+z=0，
不妨设z=-2，可得（12分）
∴=（13分）
∵二面角A-EB1-F是锐角
∴二面角A-EB1-F的大小45°（14分）