Question

已知椭圆C焦点在x轴上，其长轴长为4，离心率为，
（1）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围；
（2）如图，过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆（a＞b＞0）相交于P，S，R，Q四点，设原点O到四边形PQSR一边的距离为d，试求d=1时a，b满足的条件．

Answer

（1）由题设知．由此得．设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）．由得（1+4k2）x2+16kx+12=0．由△=（16k）2-4×12（1+4k2）＞0，知．又，由．得-2＜k＜2．由此得：．
（2）由椭圆的对称性可知PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等．当P在y轴上，Q在x轴上时，直线PQ的方程为，由d=1得，当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，P（x1，kx1），则直线RQ的斜率为，由，得（1），同理．由此知a，b满足条件．
【解析】
（1）∵椭圆C焦点在x轴上，其长轴长为4，离心率为，
∴．解得a=2，b=1，∴
显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）．（5分）
由得（1+4k2）x2+16kx+12=0．∵△=（16k）2-4×12（1+4k2）＞0，
∴
又
由．∴．
所以=∴-2＜k＜2．
由此得：．
（2）由椭圆的对称性可知PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等．
当P在y轴上，Q在x轴上时，直线PQ的方程为，由d=1得，
当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，P（x1，kx1），则直线RQ的斜率为，
由，得（1），同理
在Rt△OPQ中，由，即|PQ|2=|OP|2•|OQ|2
所以，化简得，
分，
即．
综上，d=1时a，b满足条件