Question

已知函数f（x）=x（1+x）²
（1）求函数f（x）的单调区间与极值；
（2）设g（x）=ax²，若对于任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）函数的定义域为R，求出函数的导数是一个二次函数，再讨论此二次函数的正负，在函数的定义域内解不等式
fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间，从而得出函数的极值；
（2）变形为两个函数的差f（x）-g（x）≥0在x＞0时恒成立，再根据x∈（0，+∞）为正数，所以x2+（2-a）x+1≥0恒成立即为恒成立，利用基本不等式，可得a-2≤2，得a≤4．
【解析】
因为f（x）=x3+2x2+x
所以函数的导数f′（x）=3x2+4x+1=（3x+1）（x+1）
令f′（x）=0，解得x1=-1，
因为当x＜-1或时，f′（x）＞0；当时f′（x）＜0
所以的单调增区间是（-∞，-1）和（）
的单调减区间是
所以f（-1）=0是f（x）的极大值，是f（x）的极小值
（Ⅱ）f（x）-g（x）=x3+2x2+x-ax2=x[x2+（2-a）x+1]
由已知x[x2+（2-a）x+1]≥0（x＞0）恒成立，
因为x∈（0，+∞），所以x2+（2-a）x+1≥0恒成立，
即恒成立．
因为x＞0，所以，（当且仅当x=1时取“=”号），
所以的最小值为2．由a-2≤2，得a≤4，
所以f（x）≥g（x）恒成立时，实数a的取值范围是（-∞，4]