Question

在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=-2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．

Answer

以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程和焦点坐标，根据tanM=，tanα=tg（π-∠MNP）=2，得直线PM和PN的直线方程，将此二方程联立解得x和y，可知点P的坐标，根据，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，根据三角形面积公式表示出出△MNP的面积求得c，则点P的坐标可得．由两点间的距离公式求得|PM|和|PN|，进而根据椭圆的定义求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．
【解析】
如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程为，
焦点为M（-c，0），N（c，0）．
由tan∠MNP=，tan∠MNP=-2，tanα=tan（π-∠MNP）=2，
得直线PM和直线PN的方程分别为y=（x+c）和y=2（x-c）．
将此二方程联立，解得x=c，y=c，即P点坐标为（c，c）．
在△MNP中，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，故．
由题设条件S△MNP=1，∴c=，即P点坐标为．
由两点间的距离公式，．
得．
又b2=a2-c2=，
故所求椭圆方程为．