Question

已知对任意实数x，有f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＜0，则x＜0时（ ）
A．f′（x）＞0，g′（x）＞0
B．f′（x）＜0，g′（x）＜0
C．f′（x）＜0，g′（x）＞0
D．f′（x）＞0，g′（x）＜0

Answer

根据函数的单调性与其导函数的正负的关系，同时注意到奇（偶）函数在对称的区间上单调性相同（反）．
【解析】
∵x＞0时，f′（x）＞0，由函数的单调性与其导函数的负的关系，∴f（x）在（0，+∞0上是增函数，又对任意实数x，有f（-x）=f（x），说明f（x）是偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，从而f（x）在（-∝，0）上是减函数，∴x＜0时，f′（x）＜0．同样地g（x）是奇函数，其图象关于原点对称，在（0，+∞），（-∞，0）上都是减函数，∴x＜0时g′（x）＜0
故选B．