Question

已知对于任意的实数a，b都有（a+b）²≤2（a²+b²）恒成立，则函数f（x）=|sinx|+|cosx|的值域是    ．

Answer

由题意得f（x）＞0，利用条件求出f2（x）的范围，即可得到f（x）的范围．
【解析】
∵对于任意的实数a，b都有（a+b）2≤2（a2+b2）恒成立，函数f（x）=|sinx|+|cosx|＞0，
∴f2（x）=（|sinx|+|cosx|）2≤2[（|sinx|）2+（|cosx|）2]=2，
又∵f2（x）=（|sinx|+|cosx|）2=（|sinx|）2+（|cosx|）2+2|sinx|•|cosx|≥（|sinx|）2+（|cosx|）2=1，
∴1≤f2（x）≤2，∴1≤f（x）≤，∴函数f（x）=|sinx|+|cosx|的值域是[1，]．
故答案为：[1，]．