Question

已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是它的一个焦点，又点在该椭圆上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若斜率为直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC面积的最大值时，求直线l的方程．

Answer

（1）求出抛物线的焦点，即得椭圆的焦点，设出椭圆方程为将点A（1，）代入，求出a，即得椭圆方程；
（2）用待定系数法设直线BC的方程为y=x+m，将其与椭圆的方程联立求同弦长BC，再求出点A到此弦的距离，将三角形的面积用参数表示出，判断出它取到最大值时的参数m的值即可得到直线l的方程
【解析】
（1）由已知抛物线的焦点为（0，-），故设椭圆方程为．
将点A（1，），代入方程得，，得a2=4或a2=1（舍）（4分）
故所求椭圆方程为（5分）
（2）设直线BC的方程为y=x+m，设B（x1，y1），C（x2，y2）
代入椭圆方程并化简得，
由△=8m2-16（m2-4）=8（8-m2）＞0可得m2＜8，①
由，
故|BC|=|x1-x2|=．
又点A到BC的距离为d=
故=≤×=
当且仅当2m2=16-2m2，即m=±2时取等号（满足①式），S取得最大值．
此时求直线l的方程为y=x±2．