Question

已知数列a_n和b_n满足：a₁=λ，，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ为实数，n为正整数．
（1）试判断数列a_n是否可能为等比数列，并证明你的结论；
（2）求数列b_n的通项公式；
（3）设a＞0，S_n为数列b_n的前n项和，如果对于任意正整数n，总存在实数λ，使得不等式a＜S_n＜a+1成立，求正数a的取值范围．

Answer

（1）题目要求试判断数列an是否可能为等比数列，并证明你的结论，故本题要先做出判断，然后再证明，证明方法是先假设其成立，引入参数，由等比的性质建立方程，看参数能不能求出，若能求出，则说明是，否则说明不是．
（2）研究数列相邻两项，看相邻项的关系，以确定数列bn的性质，然后求出其通项公式；
（3）求出数列的前n项和，然后根据形式求出其最值，则参数的范围易知．
【解析】
（1）对任意实数λ，数列an不可能为等比数列．
证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22=a1a3，，即，矛盾．
所以{an}不是等比数列．
（2）因为bn+1=（-1）n+1[an+1-3（n+1）+21]=（-1）n+1（an-2n+14）=-（-1）n•（an-3n+21）=-bn
又b1=-（λ+18），所以，当λ=-18，bn=0（n∈N+）；
当λ≠-18时，b1=（λ+18）≠0，由上可知bn≠0，
∴（n∈N+）．
∴数列{bn}是以-（λ+18）为首项，-为公比的等比数列．bn=-（λ+18）•（-）n-1．
（3）由（2）知，当λ=-18，bn=0，Sn=0，不满足题目要求．
∴λ≠-18，故知bn=-（λ+18）•（-）n-1，
于是可得Sn=-，
要使a＜Sn＜a+1对任意正整数n成立，即a＜-（λ+18）•[1-（-）n]＜a+1（n∈N+）得①
令，则
当n为正奇数时，1＜f（n），
∴f（n）的最大值为f（1）=，f（n）的最小值为f（2）=，
于是，由①式得a＜-（λ+18），即得-（a+1）-18＜λ＜-3a-18．
∴-（a+1）-18＜-3a-18，
∴．