Question

已知双曲线经过点，其渐近线方程为y=±2x．
（1）求双曲线的方程；
（2）设F₁，F₂是双曲线的两个焦点，证明：AF₁⊥AF₂．

Answer

（1）根据题意，双曲线C的一条渐近线方程为 y=±2x，将点C坐标代入方程，列出关于a，b的方程，解出a，b，进而可得答案．
（2）由（1）得，，，从而以F1F2为直径的圆的方程，再根据点的坐标满足方程x2+y2=5，得出点A在以F1F2为直径的圆上，最终得出AF1⊥AF2．
（1）【解析】
依题意…（3分）      
解得 …（5分）
所以双曲线的方程为．…（6分）
（2）由（1）得，，，
从而以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=5．…（9分）
因为点的坐标满足方程x2+y2=5，
故点A在以F1F2为直径的圆上，所以AF1⊥AF2．…（12分）