Question

如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁
（3）求三棱锥 A₁-B₁CD的体积．

Answer

（1）由余弦定理得BC，由勾股定理得AC⊥BC，由CC1⊥面ABC 得到CC1⊥AC，从而得到AC⊥面BCC1，故AC⊥BC1．
（2）连接B1C交BC1于点E，则DE为△ABC1的中位线，得到DE∥AC1，从而得到AC1∥面B1CD．
（3）过C作CF⊥AB垂足为F，CF⊥面ABB1A1，面积法求CF，求出三角形DB1A1的面积，代入体积公式进行运算．
【解析】
（1）证明：在△ABC中，由余弦定理得BC=4，∴△ABC为直角三角形，∴AC⊥BC．
又∵CC1⊥面ABC，∴CC1⊥AC，CC1∩BC=C，∴AC⊥面BCC1∴AC⊥BC1．
（2）证明：设B1C交BC1于点E，则E为BC1的中点，连接DE，则DE为△ABC1的中位线，
则在△ABC1中，DE∥AC1，又DE⊂面CDB1，则AC1∥面B1CD．
（3）在△ABC中过C作CF⊥AB垂足为F，
由面ABB1A1⊥面ABC知，CF⊥面ABB1A1，∴．
而，，
∴．