Question

已知向量，O是坐标原点，动点P满足：
（1）求动点P的轨迹；
（2）设B、C是点P的轨迹上不同两点，满足，在x轴上是否存在点A（m，0），使得，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）令P（x，y），由模的坐标表示与内积的坐标表示即可得到点P的轨迹方程．
（2）设BC：x=ky设B（x1，y1），C（x2，y2），将直线的方程与点P的轨迹方程联立得到B，C两点的坐标与参数k的关系，再由，得到（x1-m）（x2-m）+y1y2=0，建立起参数m，k的方程，由其形式作出判断求参数的取值范围，若能求出则说明存在，否则说明不存在．
【解析】
（1）令P（x，y），则

∴即y2=4（x+1）（4分）
（2）存在⇒-2≤m＜-1或m≥2使得，
设BC：x=ky设B（x1，y1），C（x2，y2）
⇒y2-4ky-4=0
y1+y2=4k，y1y2=-4（6分）
∵
即（x1-m）（x2-m）+y1y2=0即
（k2+1）y1y2-mk（y1+y2）+m2=0（8分）
∴-4（k2+1）-mk-4k+m2=0
（4m+4）k2=m2-4（10分）
若存在则⇒-2≤m＜-1或m≥2．（12分）