Question

如图，ABCD是梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥面ABCD，且AB=1，AD=1，CD=2，PA=3，E为PD的中点
（Ⅰ）求证：AE∥面PBC．
（Ⅱ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅲ）在面PAB内能否找一点N，使NE⊥面PAC．若存在，找出并证明；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）取PC中点为F，连接EF，BF，由已知中E为PD的中点，我们由三角形的中位线定理，可得EF∥DC且EF=DC，结合ABCD是梯形，AB∥CD，AB=1，CD=2，我们可得ABFE为平行四边形，进而AE∥BF，再由线面平行的判定定理即可得到AE∥面PBC．
（Ⅱ）以A为坐标原点，以AB，AD，AP方向为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，分别求出向量与的坐标，代入向量夹角公式后，易求出直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅲ）N为PG的中点，连NE，过D作AC的垂线交AB于G，连PG，我们易得NE∥DG，结合DG⊥AC，DG⊥PA及线面垂直的判定定理，我们可得DG⊥面PAC，再由线面垂直的第二判定定理可得NE⊥面PAC．
【解析】
（Ⅰ）取PC中点为F，连接EF，BF
又E为PD的中点，所以EF∥DC且EF=DC
所以EF∥AB，且EF=AB，所以ABFE为平行四边形（2分）
所以AE∥BF，因为AE⊄面PBC，所以AE∥面PBC（4分）
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A（0，0，0），
B（1，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），
P（0，0，3），E（0，，）（5分）
从而=（2，1，0），=（1，0，-3）
设与的夹角为θ，则
cosθ==-，（7分）
∴AC与PB所成角的余弦值为（8分）
（Ⅲ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于G，连PG，
设N为PG的中点，连NE，则NE∥DG，（10分）
∵DG⊥AC，DG⊥PA，∴DG⊥面PAC从而NE⊥面PAC（14分）