Question

已知函数y=f（x）的图象关于y轴对称，且满足f（x-2）=ax²-（a-3）x+（a-2）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）g（x）=f[f（x）]，F（x）=pg（x）+f（x），问是否存在p（p＜0）使F（x）在区间（-∞，-3]上是减函数，且在区间（-3，0）内是增函数？试证明你的结论．

Answer

（1）令x-2=t由整体换元的方法求函数f（x）的解析式．
（2）先根据（1）表示出F（x）的解析式，然后假设存在p使得满足条件，由减函数的定义或由减函数对应的导数小于0求出p的值．
【解析】
（Ⅰ）令x-2=t，则x=t+2．
由于f（x-2）=ax2-（a-3）x+（a-2），
所以f（t）=a（t+2）2-（a-3）（t+2）+（a-2）
=at2+3（a+1）t+（3a+4）
∴f（x）=ax2+3（a+1）x+（3a+4）
∵y=f（x）的图象关于y轴对称
∴a≠0且3（a+1）=0，即a=-1
故f（x）=-x2+1
（Ⅱ）g（x）=f[f（x）]=-（-x2+1）2+1
=-x4+2x2F（x）=pg（x）+f（x）=-px4+（2p-1）x2+1
设存在p（p＜0），使F（x）满足题目要求，
则当-∞＜x1＜x2≤-3时，
F（x）是减函数，即F（x1）-F（x2）
=（x12-x22）[2p-1-p（x12+x22）]＞0
由假设-x1＞-x2≥3＞0，∴x12＞x22＞9
∴2p-1-p（x12+x22）＞0 ①
又p＜0，x12+x22＞18∴-p（x12+x22）＞-18p
∴2p-1-p（x12+x22）＞2p-1-18p=-16p-1
要使①式恒成立，只须-16p-1≥0即p≤
又当-3＜x1＜x2＜0时，F（x）是增函数，
即F（x1）-F（x2）＜0，也就是2p-1-p（x12+x22）＜0 ②
此时0＜-x2＜-x1＜3．x12+x22＜18-p（x12+x22）＜-18p，
2p-1-p（x12+x22）＜-16p-1
要使②式恒成立，只须-16p-1≤0即p≥
故存在p=满足题目要求．
另【解析】
依题意F（-3）是F（x）的极小值，∴F′（-3）=0．
∵F'（x）=-4px3+2（2p-1）x，∴-4p（-3）3+2（2p-1）（-3）=0，
即．当p=时，
，
∴当x＜-3时，F'（x）＜0，F（x）在（-∞，-3]上是减函数；
当x∈（-3，0）时，F（x）是增函数．
故存在满足题目要求．