Question

在直角坐标系xOy中，设A点是曲线C₁：y=ax³+1（a＞0）与曲线的一个公共点，若C₁与C₂在A点处的切线互相垂直，则实数a的值是    ．

Answer

设出两曲线的交点A的坐标，代入两曲线解析式，分别记作①和②，由曲线C1的解析式，求出导函数，把点A的横坐标代入导函数中求出的导函数值即为曲线C1在A处的切线的斜率，进而表示出C1在A处的切线方程，由C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，得到求出的切线方程过曲线C2的圆心（0，0），把圆心坐标代入切线方程得到一个关系式，记作③，联立①②③，即可求出a的值．
【解析】
设点A的坐标为（x，y），代入两曲线方程得：
y=ax3+1①，x2+y2=②，
由曲线C1：y=ax3+1得：y′=3ax2，
则曲线C1在A处的切线的斜率k=3ax2，
所以C1在A处的切线方程为：y=3ax2（x-x）+y，
由C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，
得到切线方程y=3ax2（x-x）+y过圆C2的圆心（0，0），
则有3ax2（0-x）+y=0，即y=3ax3③，
把③代入①得：a=④，④代入③得：y=⑤，⑤代入②得：x=±，
当x=时，代入④得：a=4；当x=-时，代入④得：a=-4（由a＞0，不合题意，舍去）．
则实数a的值为4．
故答案为4．