Question

已知．
（1）求f（x）的解析式；
（2）画出f（x）的图象，并求出单调区间；
（3）讨论f（x）与f（x+1）的大小．

Answer

（1）根据=|x-1|，利用换元法令t=log2x，则x=2t，代入，即可求得f（x）的解析式；
（2）根据（1），利用函数图象 的平移和对称变换画出画出f（x）的图象，并根据图象求出单调区间；
（3）令f（x）=f（x+1）求出x的值，分三种情况讨论f（x）与f（x+1）的大小．
【解析】
（1）=|x-1|，
令t=log2x，则x=2t，
∴f（t）=|2t-1|，
即f（x）=|2x-1|；
（2）根据函数图象知，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
（3）f（x+1）=|2x+1-1|；
1°当x＞log2时，有|2x+1-1|＞|2x-1|，即f（x）＜f（x+1）；
2°当x=log2时，有|2x+1-1|=|2x-1|，即f（x）=f（x+1）；
3°当x＜log2时，有|2x+1-1|＜|2x-1|，即f（x）＞f（x+1）．