Question

已知函数f（x）=x+
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性．
（Ⅱ）判断f（x）在[1，+∞）内单调性并用定义证明；
（Ⅲ）求f（x）在区间[-3，-1]上的最小值．

Answer

（I）要是函数有意义，只要x≠0即可；由函数奇偶性的定义，只要判断f（-x）和f（x）的关系即可；
（II）由函数单调性的定义，在（-∞，-2）上任取两个自变量，做差比较两个函数值的大小即可．
（III）由（I）知f（x）是奇函数，由（II）知f（x）在[1，+∞）内是增函数．得出f（x）在[-3，-1]上是增函数从而求得其最小值．
【解析】
（I）由题意可知x≠0，
∵∴f（x）是奇函数（3分）
（II）f（x）在[1，+∞）内是增函数．（5分）
证明：设x1，x2∈[1，+∞）且x1＜x2
则=∵x1-x2＜0，x1x2＞1
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
故f（x）在[1，+∞）内是增函数．（9分）
（III）由（1）知f（x）是奇函数，由（2）知f（x）在[1，+∞）内是增函数．
∴f（x）在[-3，-1]上是增函数
∴当x=-3时，f（x）有最小值为（12分）