Question

函数y=f（x）的图象关于x=1对称，当x≤1时f（x）=x²-1；
（Ⅰ）写出y=f（x）的解析式并作出图象；
（Ⅱ）根据图象讨论f（x）-a=0（a∈R）的根的情况．

Answer

（Ⅰ）根据题意，当x≤1时f（x）=x2-1的图象为抛物线，其顶点坐标为（0，-1），已知抛物线关于x=1对称以后的抛物线与原图象的性质完全一样，故考虑找出顶点（0，-1）的对称点（2，-1），从而可求
（II）根据图象找出函数y=f（x）与y=a的交点情况即可．
【解析】
（Ⅰ）∵函数y=f（x）的图象关于x=1对称，
x≤1时，f（x）=x2-1，顶点（0，-1）
而f（x）=x2-1的图象关于x=1对称的图象为抛物线，其顶点为（0，-1）关于x=1对称的点（2，-1）
故所求的抛物线为：f（x）=（x-2）2-1
∴f（x）=
写对解析式并正确作出图象..（6分）
（Ⅱ）当a＜-1时：f（x）-a=0无解；
当-1≤a＜0时：f（x）-a=0有四个实数根；
当a=0时：f（x）-a=0有三个实数根；
当a＞0时：f（x）-a=0有两个实数根..（12分）