Question

设数列{an}的前n项和S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一根为S_n-1（n∈N^*）．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）把an=Sn-Sn-1，代入x2-anx-an=0中化简整理得Sn=，等式两边同时减1，整理后同时取倒数，整理得-=-1，进而可证明数列为等差数列．
（2）由（1）可求得数列{Sn}的通项公式，再根据an=Sn-Sn-1求得数列{an}的通项公式．
【解析】
（1）（Sn-1）2-an（Sn-1）-an=0…（1）；
代入n=1，得S1=a1=…（2）；
当n＞1时，
由an=Sn-Sn-1，代入式（1）得
Sn=
Sn-1=-1=
∴-=-1
故数列为等差数列；
（2）再由（1）知数列是为以-2为首项，-1为公差数列
∴=-1-n
∴Sn=
∴an=Sn-Sn-1=