Question

已知正三棱锥S-ABC，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15cm，底面边长为12cm，内接正三棱柱的侧面积为120cm²，
（1）求正三棱柱的高；
（2）求棱柱上底面截的小棱锥与原棱锥侧面积的比．

Answer

（1） 设内接正三棱柱的高为 x，底面的边长为 a，由直角三角形相似及内接正三棱柱的侧面积，解方程求出正三棱柱的高．
（2） 利用两个棱锥的侧面积之比等于对应的相似比的平方，相似比为 ，把x=10或x=5代入可求得棱柱上底面截的小棱锥与原棱锥侧面积的比．
【解析】
（1）设内接正三棱柱的高为 x，底面的边长为 a，
由直角三角形相似得 =，
∴a=，内接正三棱柱的侧面积为：120=3a•x=3 x，
x2-15x+50=0，∴x=10 或 x=5．
∴正三棱柱的高为10cm或5cm．
（2）两个棱锥的侧面积之比等于对应的相似比的平方，相似比为 ，
当x=10 时，相似比为，故两个棱锥的侧面积之比等于，
当x=5时，相似比为，故两个棱锥的侧面积之比等于，
故棱柱上底面截的小棱锥与原棱锥侧面积的比为：1：9或4：9．