Question

已知函数f（x）=2x²-3x+1，，（A≠0）
（1）当 0≤x≤时，求y=f（sinx）的最大值；
（2）若对任意的x₁∈[0，3]，总存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求实数A的取值范围；
（3）问a取何值时，方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π）上有两解？

Answer

（1）由已知可得，y=f（sinx）=2sin2x-3sinx+1设t=sinx，由x可得0≤t≤1，从而可得关于 t的函数，结合二次函数的性质可求
（2）依据题意有f（x1）的值域是g（x2）值域的子集，要求 A的取值范围，可先求f（x1）值域，然后分①当A＞0时，g（x2）值域②当A＜0时，g（x2）值域，建立关于 A的不等式可求A
的范围．
（3）2sin2x-3sinx+1=a-sinx化为2sin2x-2sinx+1=a在[0，2π]上有两解令t=sinx则2t2-2t+1=a在[-1，1]上解的情况可结合两函数图象的交点情况讨论．
【解析】
（1）y=f（sinx）=2sin2x-3sinx+1设t=sinx，x，则0≤t≤1
∴
∴当t=0时，ymax=1
（2）当x1∈[0，3]∴f（x1）值域为
当x2∈[0，3]时，则有
①当A＞0时，g（x2）值域为
②当A＜0时，g（x2）值域为
而依据题意有f（x1）的值域是g（x2）值域的子集
则或
∴A≥10或A≤-20
（3）2sin2x-3sinx+1=a-sinx化为2sin2x-2sinx+1=a在[0，2π]上有两解
换t=sinx则2t2-2t+1=a在[-1，1]上解的情况如下：
①当在（-1，1）上只有一个解或相等解，x有两解（5-a）（1-a）＜0或△=0
∴a∈（1，5）或
②当t=-1时，x有惟一解
③当t=1时，x有惟一解
故a∈（1，5）或