Question

已知向量与向量的对应关系可用表示．
（1）设，求向量的坐标；
（2）证明：对于任意向量及常数m、n，恒有成立；
（3）求使成立的向量．

Answer

（1）直接利用题中的对应关系求出 f（ ）=（1，2-1）=（1，1），f（）=（0，2×0-1）=（0，-1），
（2） 设出任意向量的坐标，分别计算要证等式的左边的右边，比较计算结果可得等式成立．
（3）设 =（x，y），则 f（）=（y，2y-x），∴，解方程可求向量的坐标．
【解析】
（1）f（ ）=（1，2-1）=（1，1），f（）=（0，2×0-1）=（0，-1），
∴．
（2）设，∴m+n=（mx1+nx2，my1+ny2 ），
∴f（m+n ）=（ my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2 ），
∴mf（）+nf（）=m（y1，2y1-x1 ）+n（y2，2y2-x2 ）=（ my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2 ），
∴对于任意向量及常数m、n，成立．
（3）设 =（x，y），则 f（）=（y，2y-x），∴，
∴x=1，y=3，∴．