Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，侧棱长为 1，底面边长为 2，E是棱BC的中点．
（1）求三棱锥D₁-DBC的体积；
（2）证明 BD₁∥平面C₁DE；
（3）求面C₁DE与面CDE所成二面角的正切值．

Answer

（1）分别求出高DD1和底面面积S△BCD，最后由三棱锥的体积公式求其体积．
（2）根据线面平行的判定理，只要证明EF∥BD1即可．
（3）先过C作CG⊥DE交DE于G，连接则DE⊥C1G作出二面角的平面角来，然后在Rt△CDE中，CD=2，CE=1，DE=，求得CG=，再由CC1=1，通过tan∠C1GC=求解．
【解析】
（1）∵BC=CD=2∴=×2×2=2
又∵DD1=1
∴三棱锥D1-DBC的体积=S△BCDDD1=×2×1=（2分）
（2）设C1D∩CD1=F
连接EF∵E为BC的中点F为CD1的中点
∴EF是△BCD1的中位线∴EF∥BD1（3分）
又BD1在平面C1DE外，EF在平面C1DE内
∴BD1∥平面C1DE（4分）
（3）过C作CG⊥DE交DE于G，连接
则DE⊥C1G∴∠C1GC是二面角C1-DE-C的一个平面角（5分）
在Rt△CDE中，CD=2，CE=1，DE=
∴CG=又∵CC1=1△CC1G是直角三角形（6分）
∴tan∠C1GC===（7分）