Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等边三角形，且2AA₁=AB，D、E、F分别是B₁C₁，A₁B，A₁C的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C；
（3） 求直线A₁D与平面A₁BC所成的角．

Answer

（1）根据E，F分别是A1B，A1C的中点，根据中位线可知EF∥BC，又EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，
根据线面平行的判定定理可知以EF∥平面ABC．
（2）根据三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，则BB1⊥平面A1B1C1，又A1D⊂平面A1B1C1，根据线面垂直的判定定理可知A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，最后根据面面垂直的判定定理可得平面A1FD⊥平面BB1C1C．
（3）取M为BC的中点，连接DM，A1M，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1DM，又根据面面垂直的判定定理可知平面A1DM⊥平面A1BC，从而∠DA1M即为直线A1D与平面A1BC所成的角，不妨设AA1=a，则DM=a，AB=2a，，在三角形DA1M中求出此角即可．
（1）证明：因为E，F分别是A1B，A1C的中点，
所以EF∥BC，（2分）
又EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC．（4分）
（2）证明：因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，
所以BB1⊥平面A1B1C1，又A1D⊂平面A1B1C1，
所以BB1⊥A1D，（6分）
又△A1B1C1为等边三角形，D是B1C1的中点，∴A1D⊥B1C1，
又B1C1∩BB1=B1，所以A1D⊥平面BB1C1C，
又A1D⊂平面A1FD，
所以，平面A1FD⊥平面BB1C1C．（8分）
（3）【解析】
取M为BC的中点，连接DM，A1M．
易知A1B=A1C，∴A1M⊥BC
又DM⊥BC，A1M∩DM=M，∴BC⊥平面A1DM，又BC⊂平面A1BC，
∴平面A1DM⊥平面A1BC，（10分）
∴∠DA1M即为直线A1D与平面A1BC所成的角．（11分）
不妨设AA1=a，则DM=a，AB=2a，
∴．（13分）
又∠DA1M∈（0°，90°），
∴∠DA1M=30°，即直线A1D与平面A1BC所成的角为30°．（14分）