Question

已知函数f（x）=log₂|x+1|．
（1）求函数y=f（x）的定义域和值域；
（2）指出函数y=f（x）的单调区间．

Answer

（1）由|x+1|＞0求得函数的定义域，再根据真数|x+1|＞0和对数函数的性质求出函数的值域；
（2）分x＜-1和x＞-1两种情况，化简真数对应的函数y=|x+1|，并判断在区间上单调性，由底数是2的对数函数的单调性和“同增异减”法则，求出原函数的单调性及单调区间．
【解析】
（1）由题意知，函数f（x）=log2|x+1|，
由|x+1|＞0解得，x＜-1或x＞1，
则函数f（x）定义域：（-∞，-1）∪（-1，+∞），
由|x+1|＞0，则函数f（x）值域：（-∞，+∞）．
（2）当x＜-1时，函数y=|x+1|=-x-1，并且在（-∞，-1）是减函数，
∵函数y=log2x在定义域上是增函数，
∴原函数y=f（x）在（-∞，-1）是减函数，
当x＞-1时，函数y=|x+1|=x+1，并且在（-1，+∞）是增函数，
∵函数y=log2x在定义域上是增函数，
∴原函数y=f（x）在（-1，+∞）是增函数，
综上，函数y=f（x）的单调减区间（-∞，-1）；单调增区间（-1，+∞）．