Question

四棱锥O-ABCD中，OB⊥底面ABCD，且，底面ABCD是菱形；点B在平面OAD内的射影G恰为△OAD的重心．
①求OA的长；
②求二面角B-OC-D的平面角的余弦值．

Answer

①由题意及所给的图形抓住底面ABCD是菱形，菱形的对角线互相垂直及题中所给的线面垂直和线段长度，可以建立空间直角坐标系，写出所有点的坐标，利进向量的知识及设BH=x，AH=y，建立x，y的方程而求解；
②有①的求证利用向量求出两半平面的法向量，利用两法向量的夹角与所求的二面角的大小之间的关系进行求解．．
【解析】
①由题意及题中的条件可以画出以下图形，并利用题中条件建立图示的空间坐标系：

设BH=x，AH=y和题中OB=，有图可得图中的各个点的坐标为：H（0，0，0） D（x，0，0） B（-x，0，0） A（0，y，0） C（0，-y，0） O（-x，0，） M（0，0，）
所以利用G为三角形的重心可以得：G（0，），，，，利用BG⊥平面OAD建立方程为：
⇒⇒所以有图知AD=2，在直角三角形OBA中：OA=，故OA=；
②有①建立的空间坐标系可知：

=     
 =
=
设平面OBC的法向量为  则⇒
设平面OCD的法向量为 则⇒
所以，
由法向量的夹角与二面角的夹角之间的关系知道：二面角B-OC-D的平面角的余弦值为．
故答案为：，所求的二面角的平面角的余弦值为．