Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面ABB₁A₁是边长为2的菱形，且∠A₁AB=60°，M是A₁B₁的中点，MB⊥AC．
①求证：BM⊥平面ABC；
②求点M到平面BB₁C₁C的距离．

Answer

①由于侧面ABB1A1是边长为2的菱形，M是A1B1的中点得BB1=2，B1M=1，然后在△BB1M中，由余弦定理得：BM2=4+1-2×2×1×=3利用勾股定理可得BM⊥A1B1，又BM⊥AC，得证BM⊥平面ABC
②直接求点M到平面BB1C1C的距离不好求，利用等体积法转化后可求得点到面的距离．
①证明：∵∠A1AB=60°∴∠BB1M=60°
∵侧面ABB1A1是边长为2的菱形，M是A1B1的中点
∴BB1=2，B1M=1∴在△BB1M中，
由余弦定理得：BM2=4+1-2×2×1×=3，
∴BB12=BM2+BM2∴∠BMB1=90°，
∴BM⊥A1B1
∴BM⊥AB∵BM⊥AC，AB∩AC=C，
∴BM⊥平面ABC
②【解析】
连接MC1，BC1，取BC1的中点O，连接OB1，
由①知BM⊥平面ABC，
∴BM⊥平面A1B1C1，
∵A1B1，MC1⊂平面A1B1C1
∴BM⊥MC1，BM⊥A1B1，
又△A1B1C1是正三角形，M为中点，∴A1B1⊥MC1
∵MC1∩BM=M，∴B1M⊥面BMC1．∴==
在RT△BMC1中，BM=C1M=，∴C1B=∴BO=，由于BB1=B1C1=2，∴B1O==
设点M到平面BB1C1C的距离为h，
则==∵=
∴h=∴点M到平面BB1C1C的距离为