Question

数列{a_n}的前n项和S_n，当n≥1时，S_n+1是a_n+1与S_n+1+k的等比中项（k≠0）．
（1）求证：对于；
（2）设，求S_n；
（3）对n≥1，试证明：S₁S₂+S₂S₃+…+S_nS_n+1

Answer

（1）由题意知Sn+12=（Sn+1-Sn）（Sn+1+k），-Sn+1Sn+k（Sn+1-Sn）=0，等式两边同除
由此可知．
（2）由（1）知：，由此可知．
（3）S1S2+S2S3+…+SnSn+1===．
证明：（1）由Sn+12=an+1•（Sn+1+k）而an+1=Sn+1-Sn
∴Sn+12=（Sn+1-Sn）（Sn+1+k）
∴-Sn+1Sn+k（Sn+1-Sn）=0
等式两边同除
∴；（4分）
（2）由（1）知：为首项，
以为公差的等差数列，
∴
∴；（8分）
（3）S1S2+S2S3+…+SnSn+1
=
=
=．（12分）