如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2，E是棱C...

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，E是棱CC₁上的点，且 manfen5.com 满分网

．
（1）求三棱锥C-BED的体积；
（2）求证：A₁C⊥平面BDE．

（1）由等体积法可得VC-BED=VE-BCD=，把数据代入运算．（2）先证明BE⊥面A1B1C，可得 BE⊥A1C，再由由三垂线定理可得BD⊥A1C，得到 A1C⊥平面BDE．【解析】（1）VC-BED=VE-BCD===．（2）证明：长方体中，∵A1B1⊥面BB1C1C，∴A1B1⊥BE，由题意得 B1C⊥BE，故BE 垂直于面A1B1C内的两条相交直线 A1B1和B1C，∴BE⊥面A1B1C，∴BE⊥A1C．正方形ABCD中，∵AC⊥BD，AC是A1C在底面内的射影，由三垂线定理可得BD⊥A1C．这样，A1C垂直于平面BDE内的两条相交直线BE 和BD，故A1C⊥平面BDE．

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考点分析：

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②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；
④若l⊂α，m⊂α，l∩m=点A，l∥β，m∥β，则α∥β．
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试题属性

题型：解答题
难度：中等