Question

已知函数f（x）=alnx+x²（a为实常数）．
（Ⅰ）若a=-2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值．

Answer

（Ⅰ）将a=-2代入，然后求出导函数f'（x），欲证函数f（x）在（1，+∞）上是增函数只需证导函数在（1，+∞）上恒大于零即可；
（Ⅱ）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在[1，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．
【解析】
（Ⅰ）当a=-2时，f（x）=x2-2lnx，当x∈（1，+∞），，
故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（Ⅱ），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．
若a≥-2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=1时，f'（x）=0），
故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．
若-2e2＜a＜-2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，
此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．
故[f（x）]min==
若a≤-2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=-2e2，x=e时，f'（x）=0），
故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．
综上可知，当a≥-2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；
当-2e2＜a＜-2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；
当a≤-2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e