Question

如图①，E，F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点，∠B=90°，沿EF将三角形ABC折成如图②所示的锐二面角A₁-EF-B，若M为线段A₁C中点．
求证：（1）直线FM∥平面A₁EB；
（2）平面A₁FC⊥平面A₁BC．

Answer

（I）取A1B中点N，连接NE，NM，证四边形MNEF为平行四边形来获取MF∥NE，得到线面平行的条件．
（II）根据图形找出线MF与面ABC中的两条相交线垂直即可，由题目中的条件易得．
证明：（1）取A1B中点N，连接NE，NM，
则MN，EF，所以MNFE，
所以四边形MNEF为平行四边形，所以FM∥EN，（4分）
又因为FM⊄平面A1EB，EN⊂平面A1EB，
所以直线FM∥平面A1EB．（7分）
（2）因为E，F分别AB和AC的中点，
所以A1F=FC，所以FM⊥A1C（9分）
同理，EN⊥A1B，
由（1）知，FM∥EN，所以FM⊥A1B
又因为A1C∩A1B=A1，所以FM⊥平面A1BC，（12分）
又因为FM⊂平面A1FC
所以平面A1FC⊥平面A1BC．（14分）