Question

偶函数y=f（x）在区间[-1，0]上单调递增，且满足f（x+1）=-f（x-1），下列判断：①f（5）=0；②f（x）没有最小值；③f（x）的图象关于直线x=1对称；④f（x）在x=0处取得最大值．其中正确的判断序号是    ．

Answer

首先根据f（x）在区间[-1，0]上单调递增且是偶函数，可判断f（x）在[0，1]上单调递减，根据f（x+1）=-f（x-1）可推出f（x+2）=-f（x）和（x+4）=f（x），进而可推断函数在[1，2]单调减，在[2，3]和[3，4]上单调增而且函数为以4为周期的函数．进而可画出函数的示意图，根据示意图判断①②③④的正误．
【解析】
f（x+1）=-f（x-1）
∴f（x+2）=f（x+1+1）=-f（x）
∴f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x）
∴函数f（x）是以4为周期的函数．
∵函数f（x）为偶函数，
∴y=f（x）在区间[0，1]上单调递减，
又∵f（x+2）=-f（x）
函数f（x）在[1，2]上的图象与在[-1，1]上的图象关于点（1，0）对称，故③不正确．
故函数在[-1，1]上的示意图如下
∴当x=0时
f（0+1）=-f（0-1）=-f（1）
∴f（1）=0
∴f（5）=f（4+1）=f（1）=0
故①正确．
如示意图，f（2）为函数的最小值，f（0）=f（4）为函数最大值．故②不正确，④正确．
故答案为：①④