Question

已知双曲线的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为    ．

Answer

设A点是斜率为正的渐近线与右准线的交点，进而根据双曲线方程求得渐近线方程和右准线方程，进而把这两个方程联立求得点A的坐标，△OAF的面积以OF为底边计算的话，其上的高就是A点的纵坐标的绝对值，即：，进而表示出△OAF的面积建立等式求得a=b，进而可知双曲线渐近线的斜率，可知其垂直，进而可推出答案．
【解析】
设A点是斜率为正的渐近线与右准线的交点
双曲线斜率为正的渐近线方程为：y=x
而右准线为：x=
于是，渐近线与右准线的交点A，其横坐标就是，纵坐标可求出是：
y=
△OAF的面积若是以OF为底边计算的话，其上的高就是A点的纵坐标的绝对值，即：
∴S△OAF=|OF|••==
由题意有：=
∴a=b
∴双曲线两条渐近线就是：y=±x
∴两条渐近线相互垂直
∴它们的夹角很容易得出是90°
故答案为90°